ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

ПРИКЛАДНАЯ О АТИСТИКА

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ГОСТ 11.011-83

Издание официальное

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО СТАНДАРТАМ Москва

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ Г АММА-РАСП РЕД ЕЛ ЕН ИЯ

ГОСТ 11.011-83

Издание официальное

МОСКВА — 1 985

4.3. При —10,0^л:<—5,0 используют формулу

При х<—10,0 используют формулу

—х—0,4238

При лг<—75,0 разрешается использовать вместо (18) более простую формулу

а*=---.    (19)

X

4.4. При х>1,9 следует использовать формулу

а^# = е*+0,5.    (20)

4.5. Для построения доверительных границ следует вычислить оценку а* (а*) среднего квадратического отклонения оценки а* параметра а, определенной в соответствии с п. 4.1, по формуле

«•(«*)=-—(21)

У пЦа*)

где /(а*) определяют по а* в соответствии с пп. 4.6—4.8,

4.9. Верхнюю доверительную границу а_В1 соответствующую доверительной вероятности 1 — а, вычисляют по формуле

а_в=а*+я_ав*(а*),

где а* находят в соответствии с п. 4.1, о* (а*)—по п. 4.5, квантиль и _а стандартного нормального распределения, соответствующая доверительной вероятности 1 — а, приведена в табл. 3.

4.10. Нижнюю доверительную границу а_Яу соответствующую доверительной вероятности 1 — а, вычисляют по формуле

(27)

где а*, «_а, а* (а*) — те же, что и в п. 4.9.

Примечание. Если нижняя доверительная граница а_Н) вычисленная по формуле (27), отрицательна, то полагают а_н = 0.

4.11. Двусторонние доверительные границы определяют в соответствии с п. 2.9.

5. ВЫБОР МЕТОДА ОЦЕНИВАНИЯ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРАХ ФОРМЫ И МАСШТАБА И ИЗВЕСТНОМ ПАРАМЕТРЕ СДВИГА

5.1.    Метод оценивания выбирают в зависимости от величины относительной или абсолютной погрешности наблюдений, объема выборки и оценки параметра формы.

5.2.    Оценку а параметра формы а, используемую при выборе метода оценивания, определяют методом моментов по следующему алгоритму:

вычисляют среднее арифметическое х наблюдений х_и х_ъ х_п по формуле

вычисляют выборочную дисперсию s² наблюдений х_и х% ..., х_п

по формуле

(29)

вычисляют оценку а параметра формы а 'по формуле

гост ii.aii—аз с_тр. и

5.3. При известной относительной погрешности наблюдений б метод оценивания выбирают следующим образом:

по оценке а параметра формы, определенной в соответствии с п. 5.2, вычисляют величину

A = a( 2а—а);    (31)

по относительной погрешности наблюдений б и объему выборки п вычисляют величину

В =    ;    (32),

^ЬУ п

если А>В, то точечные оценки и доверительные границы определяют по методу моментов (разд. 6);

если А^В, то применяют метод максимального правдоподобия (разд. 7).

5.4. При известной абсолютной погрешности А применяют правила п. 5.3 с величиной б, вычисленной по формуле

где х определяют по п. 5.2.

6. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ФОРМЫ И МАСШТАБА МЕТОДОМ МОМЕНТОВ ПРИ ИЗВЕСТНОМ ПАРАМЕТРЕ СДВИГА

6.1.    Точечную оценку а параметра формы а определяют в соответствии с п. 5.2.

6.2.    Точечную оценку Ь (параметра масштаба b вычисляют то формуле

ь = —,    (34)

а

где а: и a определяют в соответствии с п. 5.2.

6.3. Для определения доверительных границ параметра формы

следует вычислить оценку а (а) среднего квадратического отклонения оценки а 'параметра а, определенной в соответствии с п. 6.1, по формуле

Стр. 12 ГОСТ 11.011-83

6.4. Верхнюю доверительную границу а_в, соответствующую доверительной вероятности 1 —> а, вычисляют по формуле

а_в=а+и_ао(а),

где а определяют в соответствии с п. 5.2 о (а)—с п. 6.3, квантиль и_а стандартного нормального распределения, соответствующая доверительной вероятности 1 — а, приведена в табл. 3.

6.5.    Нижнюю доверительную границу а_и, соответствующую доверительной вероятности 1 — а, вычисляют по формуле

а_п=а—и_ла(а),    (37)

где а, а (а) и и_а —те же, что и в п. 6.4.

Примечание. Если нижняя доверительная граница а_Н) вычисленная по формуле (37), отрицательна, то полагают а_п—0.

6.6.    Для определения доверительных границ параметра масштаба b следует вычислить оценку а (b) среднего квадратического отклонения оценки b параметра й, определенной в соответствии с п. 6.2. Величину а (й) вычисляют по формуле

где а определяют в соответствии с п. 5.4.

6.7. Верхнюю доверительную границу й_в, соответствующую доверительной вероятности 1 —■ а, вычисляют по формуле

Ь_в = Ь+и_ав(Ь),    (39)

где й определяют в соответствии с п. 6.2, а(й) —по п. 6.6, квантиль и а стандартного нормального распределения, соответствующая доверительной вероятности 1 — а, приведена в табл. 3.

6.8. Нижнюю доверительную границу й_н, соответствующую доверительной вероятности 1 — а, вычисляют по формуле

Ь_а=Ь—и_аз (Ь),

где Ь, а (й) и и_а — те же, что и в п. 6.7.

Примечание. Если нижняя доверительная граница Ь_п, вычисленная по формуле (40), отрицательна, то полагают Ь_л = 0.

ГОСТ 11.011-83 Стр. 13

6.9. Двусторонние доверительные границы для параметров формы а и масштаба Ь определяют в соответствии с п. 2.9.

7. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ФОРМЫ И МАСШТАБА МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ПРИ ИЗВЕСТНОМ ПАРАМЕТРЕ СДВИГА

7.1.    Точечную оценку а* параметра формы а определяют по следующему алгоритму:

вычисляют

(4.)

где х — среднее арифметическое наблюдений х, х₂, .... х_п (х определяют по п. 5.2);

вычисляют оценку а* по формуле

а* = Н(х),    (42)

в соответствии с пп. 7.2; 7.3.

7.2.    При х^0,25 значение а* определяют по х с помощью табл. 6. Если значение х, вычисленное в соответствии с п. 7.1, попадает между двумя значениями х в табл. 6, то применяют дробно-линейную интерполяцию (в соответствии с разд. 9).

7.3. При х<0,25 значение а* для х₉ не содержащихся в табл. 6, вычисляют по асимптотической формуле

1+л/1+4*

а*=-1-±-.    (43)

4х

Стр. 16 ГОСТ 11.011—83

7.9.    Верхнюю доверительную границу а_в, соответствующую доверительной вероятности 1 — а, вычисляют по формуле

a_Q—а* + tio? *(а*),    (52)

где а* вычисляют в соответствии с п. 7.1, а* (а*) определяют по пп. 7.6—7.8 (в зависимости от величины а*), квантиль стандартного нормального распределения и_а соответствующая доверительной вероятности 1 — а, приведена в табл. 3.

7.10.    Нижнюю доверительную границу а_н, соответствующую доверительной вероятности 1 — а, вычисляют по формуле

а_н=а*—и_ае*{а*),    (53)

где а*, и_а , а* (а*) —те же, что и в п. 7.9.

Примечание. Если нижняя доверительная граница а_н, вычисленная по формуле (53), отрицательна, то полагают ан = 0.

7.11.    Верхнюю доверительную границу Ь_в параметра масштаба 6, соответствующую доверительной вероятности 1 — а, вычисляют по формуле

Ь_в=Ь*+и_ае*{Ь *),    (54)

где 6* вычисляют по п. 7.4, а* (&*) — по пп. 7.6—7.8 (в зависимости от а*), квантиль и_а стандартного нормального распределения приведена в табл. 3.

7.12.    Нижнюю доверительную границу Ь_н параметра масштаба 6, соответствующую доверительной вероятности 1 — а, вычисляют по формуле

Ь_Н=Ь*—tuo*(b*)>    (55)

где Ь*, и_а , а* (6*)_v ■— те же, что ив п. 7.11.

Примечание. Если нижняя доверительная граница 6_Н» вычисленная по формуле (55), отрицательна, то полагают 6_Н = 0.

7.13.    Двусторонние доверительные границы определяют в соответствии с п. 2.9.

8. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПРИ НЕИЗВЕСТНОМ ПАРАМЕТРЕ СДВИГА

8.1. Стандарт устанавливает правила определения точечных оценок и доверительных границ для следующих случаев: оценивание трех неизвестных параметров (пп. 8.3—8.6); оценивание параметров масштаба и сдвига при известном параметре формы (пп. 8.7—8.10);

ГОСТ 11.011—83 Стр. 17

оценивание параметров формы и сдвига при известном параметре масштаба (пп. 8.11—8.14);

оценивание параметра сдвига при известных параметрах формы и масштаба (пп. 8.15—8.18).

8.2.    Для оценивания параметров применяют метод моментов и метод наилучших асимптотически нормальных оценок. Метод моментов является более простым и требует меньшего объема вычислений, чем метод наилучших асимптотически нормальных оценок. На основе оценок метода моментов вычисляют наилучшие асимптотически нормальные оценки и доверительные границы для параметров гамма-распределения. Метод наилучших асимптотически нормальных оценок при большем объеме вычислений приводит к более точным оценкам, чем метод моментов. Указанные свойства оценок используют при выборе метода оценивания. При проведении расчетов с помощью вычислительной техники предпочтительным является метод наилучших асимптотически нормальных оценок как более точный и позволяющий определить доверительные границы.

8.3.    При трех неизвестных параметрах а, Ь, с оценки метода моментов вычисляют по формулам:

где среднее арифметическое наблюдений х и выборочную дисперсию s² определяют по п. 5.2, выборочный третий центральный момент т% вычисляют по формуле

(59)

Примечание. Если оценка параметра сдвига с, вычисленная по формуле

(58), больше минимального из наблюдений х_тш, то полагают с=х_тin. Если отрицателен третий центральный момент т₃, вычисленный по формуле (53), то неверно, что наблюдения имеют гамма-распределение.

8.4. Если а>2,5, то целесообразно определить наилучшие асимптотические нормальные оценки в соответствии о пп. 8.4.1 — 8.4.7.

© Издательство стандартов, 1985

УДК 519.2:658.562:006.354 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

Прикладная статистика

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Applied statistics. Regulations for determination of estimates and confidence limits for parameters of gamma distribution

ОКП 0021

Постановлением Государственного комитета СССР по стандартам от 27 июня 1983 г. № 2684 срок введения установлен

с 01.01.85

Настоящий стандарт устанавливает правила определения оценок и доверительных границ для параметров гамма-распределения по совокупности результатов независимых наблюдений, полученных в процессе анализов, испытаний, измерений и т. д., если исследуемые случайные величины подчиняются тамада-распределению. Проверка согласия опытного распределения этих наблюдений с теоретическим гамма-распределением — по ГОСТ 11.006-74.

1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1. Распределение случайной величины X называется гамма-распределением, если плотность вероятности имеет вид

—!—(а*—с)^й"¹6-^аехр(——^с1, если х>с,

Г(а) ^V '    1    Ь    У    (1)

0,    если    х<с.

Плотность вероятности f (х; а, Ь, с) определяется тремя параметрами а, b, с, где а>0, 6>0. При этом а является .параметром формы, b — параметром масштаба, с — параметром сдвига. Множитель — является нормировочным, Г (а) —■ гамма-функция, Г(д).

оо

1(я)=1 x^a~^l e~^xdx.    (2)

о

1.2. Частные случаи гамма-раепределения >при определенных значениях параметров имеют специальные названия. При а=1

Переиздание. Февраль 1984 г.

2—812

Стр. 2 ГОСТ 11.011-83

шеем экспоненциальное распределение (ГОСТ 11.005-74). При натуральном а и с=0 гамма-распределение — распределение Эрланга. Если случайная величина X имеет гамма-распределение с параметром формы а таким, что v = 2а — целое число, 6 = 1 и с=0, то 2Х имеет распределение хи-квадрат (%²) с v степенями свободы.

1.3. Гамма-распределение имеет следующие характеристики: математическое ожидание Е (X) =а6 +с.-дисперсию D (Х) — а² = аЬ²;

коэффициент вариации     L_    —    ^ь^ ^а .

Е(Х) ab+c ’

Е(Х~-Е(Х))*    2

**    ⁼    VT^;

Е(Х — Е(Х)У    _б_    .

характеристическую функцию Ee^ltx=e^itc( 1

2. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ

2.1.    Точечные оценки и доверительные границы для парамет

ров гамма-распределения определяются по полной выборке объема п из гамма-распределения, т. е. по совокупности результатов наблюдений хи    которые    рассматриваются    как не

зависимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие гамма-распределение.

Для получения оценок и доверительных границ используются метод моментов, метод максимального правдоподобия и метод наилучших асимптотически нормальных оценок (полученных из оценок метода моментов одной итерацией при решении по методу Ньютона—Рафсона системы уравнений максимального правдоподобия) .

2.2.    Стандарт устанавливает правила определения точечных оценок и доверительных границ как при известном параметре сдвига с, так и при неизвестном параметре сдвига.

Если параметр сдвига известен, то, вычитая из наблюдений известное число с, получаем полную выборку объема п из гамма-раапределения с параметром сдвига с — 0. Поэтому правила настоящего стандарта устанавливаются для случая с = 0 (разд. 3—

Стр. 4 ГОСТ 11.011-83

2.9. Если с_п, Яв и Ь_Яу Ь_в определены в соотвествии -с пп. 2.7; 2.8, то

P(a_H<a<a_Q)= 1 — а_н —а_в> P(K<b<b_B)^l — а_н — а_в,

т. е. доверительные интервалы [а_1Ъ а_в] и [6_Н, Ь_в] накрывают истинные значения параметров а, b соответственно с доверительной вероятностью 1 — а_н — а_в. В частности, если 'а_п='<Хв=1а, т. е. односторонние -границы соответствуют доверительной вероятности 1 — а, то двусторонний доверительный интервал соответствует доверительной вероятности 1 — 2 а. Если двусторонний доверительный интервал должен соответствовать доверительной вероятности 1 — р, следует брать в качестве его концов односторонние (нижнюю и верхнюю) доверительные границы, соответствующие доверительной вероятности 1 — р/2.

2.10.    Значения доверительной вероятности (1 — а) — по ГОСТ 11.001—73.

Примечание. Наиболее часто используются значения о=0,01; 0,05; 0,1.

2.11.    Примеры применения правил стандарта даны в справочном приложении 1. Свойства гамма-распределения и (правила оценивания ряда его характеристик приведены в справочном приложении 2. Теоретические основы стандарта описаны в справочном приложении 3. Условные обозначения, употребляемые в стандарте, содержатся в справочном приложении 4.

3. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРА МАСШТАБА ПРИ ИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРАХ

ФОРМЫ И СДВИГА

3.1. Точечную оценку 6* параметра b при известном параметре а вычисляют по формуле

(9)

3.2. Нижнюю доверительную границу Ь_1Ь соответствующую доверительной вероятности 1 — а, вычисляют по формуле

^n=r_t(a, па) Ь

При т = 1-И000 значения г_х (а, т) берут из табл. 1 (т = па).

3.3. Верхнюю доверительную границу Ь_ъ, соответствующую доверительной вероятности 1 — а, вычисляют по формуле

Ь»=г₂(<х, па) Ь*.

При т= 1 — 1000 значения Гг (а, т) приведены в табл. 2 (т=па).

3.4. Если значение т = па^ 100 не содержится в тэбл. 1, 2, применяют линейную интерполяцию (в соответствии с разд. 9).