ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА

ГОСТ 11.007-75

Издание официальное

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СТАНДАРТОВ СОВЕТА МИНИСТРОВ СССР

Москва

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА

ГОСТ 11.007-75

Издание официальное

ГОСТ 11.007-75 Стр. 9

Op. 10 ГОСТ 11.007-75

Стр. 12 ГОСТ 11.007-75

7.5. Определение верхней доверительной границы для параметра а при неизвестном значении параметра Ь и известном значении с осуществляется следующим образом:

задают одностороннюю доверительную вероятность у₂ и вычисляют корни b и а уравнений (1) и (2) приложения 1;

по заданному объему выборки п (5<п<120) и значению у₂ из табл. 3 находят значение коэффициента z_B;

определяют верхнюю доверительную границу для параметра а по формуле

при значении объема выборки п> 120 значение г_в определяют по формуле

(21)

где Uy₂ — приведено в табл. 4.

7.6. Определение доверительного интервала для параметра а при неизвестном значении параметра b и известном значении с осуществляют следующим образом:

задают доверительную вероятность у* и односторонние доверительные вероятности Уи и ?₂ таким образом, чтобы у*, Yi и у₂ удовлетворяли соотношению (13);

для односторонней доверительной вероятности у_{ согласно п. 7.4 определяют нижнюю границу о_н;

для односторонней доверительной вероятности у₂ согласно п. 7.5 определяют верхнюю доверительную границу а_в;

нижняя а_н и верхняя а_в доверительные границы образуют доверительный интервал для параметра а при доверительной вероятности y* = Уь+Уг—1 (см. приложение 2, примеры 6, 8).

ГОСТ 11.007-75 Стр. 13

ПРИЛОЖЕНИЕ / Рекомендуемое

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

1. Метод максимального правдоподобия применяется, когда имеются повышенные требования к эффективности оценок.

Случай [а, Ь]. Оценка параметров масштаба а и формы b при известном значении параметра сдвига с по методу максимального правдоподобия осуществляется путем решения системы уравнений

п

«2 (•*<—'c)^b\n(xt—,с)    _п

JL— —----Ь2'п(^)=0>    ⁽¹⁾

1 = 1

а -

(2)

Решение уравнения (1) данного приложения осуществляется методом последовательных приближений (методом Ньютона — Рафсона) по рекуррентной формуле

Л    А

^bk+i^=bk +

(3)

S₁₌2 ^ln (-*«—c).    (4)

(=1

4^fe)=2^(x~^c) h ’    (5)

n    A

^=2^-^c)    (6)

{=1

n    /ч

^S4^fc)=2(^Jf‘^—b<i'^ln2 (A—Ic).

i=1

(7)

Ь_к — k~e приближение к корню b уравнения (1) данного приложения,

Ь₀ — начальное приближение к корню b уравнения (1) данного приложения.

2. В качестве начального приближения может быть взято значение оценки Ь, полученной методом моментов, или значение оценки параметра 5, полученной с помощью вероятностных сеток (по ГОСТ 11.008-74), или значение оценки параметра Ь, полученной по значению вероятности Р₀ с помощью табл. 1.

Я₀=Вер{л:<Т}.    (8)

Оценка вероятности Pq осуществляется по накопленной частости

(См. приложение 2, пример 8).

3. Чтобы получить несмещенную оценку b для параметра Ь, следует ум-

ножить значение корня b на коэффициент £(п), приведенный в таблице данного приложения.

Оценка а параметра а получается из уравнения (2) данного приложения,

в которое вместо значения b подставляется значение b (см. приложение 2, пример 6).

Значения В (п) для получения несмещенной оценки параметра формы b

п В(п) п В(п) п В(п) п В(п) п В(п) 5 0,669 15 0,908 3i 0,960 54 0,975 74 0,982 6 0,752 16 0,914 36 0,962 56 0,976 76 0,983 7 0,792 18 0,923 38 0,964 58 0,977 78 0,983 8 0,820 20 0,931 40 0,968 60 0,978 80 9,984 9 0,842 22 0,938 42 0,968 62 0,979 85 9,985 10 0,859 24 0,943 41 0,970 64 0,980 90 0,985 11 0,872 26 0,947 46 0,971 66 0,98с 1 100 0,987 12 0,883 28 0,951 48 0,972 68 0,981 120 0,990 13 0,893 30 0,955 50 0,973 70 0,981 14 0,901 32 0,958 52 0,974 72 0,982

4. Случай [а, с]. Оценка параметра а и с при известном значении параметра b~b_Q по методу максимального правдоподобия осуществляется следующим образом:

—    если значение \0<Ь₀<2, то в качестве оценки параметра с берут минимальное значение х_п(\) из наблюденных значений х_и х₃,    .    .    х_п;

—    вычисляют оценку параметра а по формуле

(10)

(См. приложение 2, пример 9).

ГОСТ 11.007-75 Стр. 15

5. Если Ьо>2, то оценку параметров а и с осуществляют путем решения системы уравнений:

Ьо-1

пЪ₀-

ы

i=1

(И)

L f=i

bo

bo

(12)

Оценка параметра с находится из уравнения (11) данного приложения методом последовательных приближений (методом    Ньютона—Рафсона)    по

формуле

~ л

^сг₎4-1^=ск'

sf>-

Ь 0-1

' ^ь0п

■S\^k)

(b₀~l)S^-Sl^k)~b₀(Si^k>)² b,

(St)

b₀n

"SP

(13)

s

k\2
<ft) 1

(14)

t=l    Cfc

4*’-2

1

(^xi ^ck)²

(15)

4^=2 ^~^Ck)^b° ² -    (¹⁶>

i=1

/L\ Ж’I    A b₀ 1

si*>=2 (*<-<*)    .    (¹⁷>

t=l

si*>=2 (4-V".    08)

1=1

Co — начальное приближение к корню с, которое может быть получено или методом моментов, или с помощью вероятностных сеток, или с помощью значения вероятности Р₀ (см. формулы (8), (9) данного приложения и приложения 2, пример 8);

по полученному значению с=с и данному значению Ь₀ согласно формуле (12) данного приложения находят оценку для параметра а (см. приложение 2, пример 10).

6. Случай [а, Ь, с]. Оценка параметров а, b, с распределения Вейбулла по методу максимального правдоподобия осуществляется путем решения системы уравнений:

ь—1

=0.

(19)

У (х_£—с)*

t=l

t=i

In (jc_t*—с)

п i=1

(Xi—c)^b In (X{—c)

=0

(20)

У(Xr-c)» i-1

a=

-2 <*->■

*=i

(21)

Решение системы уравнений (19), (20), (21), осуществляется следующим образом:

согласно п. 2 данного приложения находят начальное приближение для оценок параметров а, Ь, с.

Если окажется, что начальное приближение оценки параметра b не более 2, то в качестве оценки параметра сдвига берут наименьшее значение х_п (1) из наблюденных значений х_и х₂,    .    .    х_п.

Затем из уравнения (20) методом последовательных приближений (методом Ньютона—Рафсона) находят оценку для параметра b по формулам (3)—(7) данного приложения, где вместо значения с следует подставлять значение х_п (1) (см. приложение 2, пример 11).

ГОСТ 11.007—75 Стр. 17

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Справочное

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВИЛ СТАНДАРТА

Таблица 1 Значения xt

10,96 13,445 3,670 3,703 7,744 16,832 5,532 6,182 6,472 17,034

Пример 1. Дано 10 наблюдений случайной величины X, подчиняющейся распределению Вейбулла с известными значениями параметров формы Ь=2 и сдвига с—2. Найти оценку для параметра масштаба а. Результаты наблюдений приведены в табл. 1 данного приложения.

Решение. Согласно формуле (2) получают:

2

=9,13.

Г ¹⁰

Пример 2. Дано 100 наблюдений случайной величины, подчиняющейся распределению Вейбулла, если известно, что параметр сдвига с=0.

Результаты наблюдений, расположенные в порядке возрастания (вариационный ряд), приведены в табл. 2 данного приложения. Найти методом моментов оценки для параметров формы b и масштаба а.

Таблица 2 Значения х i

0,027 0,251 0,446 0,667 0,843 0,033 0,266 0,480 0,670 0,855 0,091 0,267 0,506 0,675 0,887 0,106 0,270 0,510 0,705 0,925 0,117 0,273 0,561 0,706 0,937 0,135 0,288 0,576 0,738 0,949 0,136 0,291 0,588 0,741 0,949 0,211 0,333 0,611 0,748 0,986 0,211 0,342 0,615 0,748 0,987 0,228 0,363 0,631 0,749 1,085 0,231 0,415 0,646 0,778 1,127 0,236 0,434 0,646 0,782 1,161 0,239 0,445 0,649 0,826 1,198

Продолжение таблч 2

1,225 1,373 1,435 1,822 2,185 1,242 1,375 1,501 1,849 2,285 1,248 1,418 1,521 1,897 2,646 1,265 1,419 1,573 1,964 3,101 1,283 1,421 1,745 1,969 3,904 1,341 1,427 1,764 2,031 4,007 1,363 1,432 1,807 2,038 4,388

Решение. Согласно формулам (3), (4) и (5) вычисляют

1 ¹⁰⁰

-Tool *‘-=^!'034,

i=1

s=		(я*—*)2 =0,874,
i=1

0,874 ^Vf}~\ ,034

=0,845.

Из табл. 1 находят, что для 6=1,10 v = 0,910, а для 6=1,20 v_b =0,83?. Применяя линейную интерполяцию:

6_Х — 1,10; v_bl =0,910;

Ъ= ;    о_ь=0,Ш;

Ъ₂ — \ ,20;    v_b2 =0,837,

получают

.    ,    Щ-Ьъг    Vb₂-b_b    1,20(0,845-0    910)    1,10(0,837-0,845)

V_b2 —v_bi +%_&2 — v_bl -    0,837—0,910    ⁺    0,837—0,910

С помощью табл. 1 и используя линейную интерполяцию, получают значение к_ь;

6^1,10;    Кьг =0,965;

6 = 1,19;    Кь= ;

Ь₂= 1,20;    Кьг =0,940.

Кь=0,940

(1,19—1,10)

1,20—1,10

+0,965

(1,20-1,19)

1,20—1,10

=0,942.

Согласно формуле (6) находят оценку для параметра масштаба а

1,034 ^а~0,942 ~^1,10'

Таким образом оценки для параметров а и 6 следующие:

а= 1,10;    6=1,19.

УДК 658.562.012.71083.74J    Группа    Т59

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР

Прикладная статистика ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК И ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЙБУЛЛА

Applied statistics. iPioint and interval estimators for parameters of weibull distribution

Постановлением Государственного комитета стандартов Совета Министров ССОР от 5 сентября 1975 г. № 2347 срок введения установлен

с 01.07. 1976 г.

Настоящий стандарт устанавливает правила определения оценок и доверительных границ для параметров распределения Вей-булла по совокупности статистических (опытных) данных, полученных на производстве в процессе измерений, испытаний и анализов, если эти опытные данные подчиняются распределению Вейбулла.

1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ПОЛОЖЕНИЯ

1.1.    Правила и положения данного стандарта устанавливаются для распределения Вейбулла, задаваемого плотностью распределения:

/(*, а, Ь, с)= |— (—' “    ,    если    х>с    (1)

( 0,    если    x<ic,

где а — параметр масштаба, b — параметр формы, с — параметр сдвига (см. приложение 4, чертеж).

1.2.    Оценка параметров а, Ь, с осуществляется по выборке независимых наблюдений х_и х₂,    .    .    .,    х_п    случайной    величины

X, заведомо подчиняющейся распределению Вейбулла. Согласие наблюдений х_и %2> •    .    х_пс    распределением    Вейбулла    —    по

ГОСТ 11.006-74.

гост

11.007-75

Перепечатка воспрещена

Издание официальное

Переиздание. Ноябрь 1977 г.

ГОСТ 11.007-75 Стр. 19

Пример 3. табл. 2 примера 2 дано 100 наблюдений случайной величины X, подчиняющейся распределению Вейбулла. Известно, что 6 =1,2. Методом моментов найти оценки для параметров масштаба и сдвига.

Решение. Из табл. 1 определяют значение коэффициентов К _ь и . В нашем случае для 6=1,20 имеем Кь —0,940; g*=0,787.

Определяют среднее значение х и среднее квадратическое отклонение 5

₁ юо

5=

(xt*—1,034)2=0,874.

1*034;

Согласно формуле (7) определяют оценку а для параметра а

- 0,874    ,

0,787 ~^1,115*

По формуле (8) определяют

с=1,034—I,115-0,940=— 0,014.

Согласно формуле (9) в качестве оценки параметра сдвига с берут значение с = —0,014, так как

Г=-0,014<*_1ОО(1)=0,027.

Таким образом оценки для параметров масштаба а и сдвига с следующие:

а= 1,115;    Г=-0,014.

Пример 4. Для 100 наблюдений, приведенных в табл. 2 примера 2, найти методом моментов оценки для параметров масштаба, формы и сдвига распределения Вейбулла.

Решение. Согласно формуле (10) вычисляют:

100

99-98    ^х*~~    1    >    034)³

=2,109,

i=\

~ | 100 “|³/₂ gg-^(x₍.-l,034)² (=1

где х= 1,034; 5=0,874 получено согласно примеру 2.

По значению р* = 2,109 из табл. 1 находят значение 6 = 0,97; /(* = 1,013; ££ = 1,043. В данном случае применена линейная интерполяция для получения¹ значений 6 = 0,97; /(* = 1,013; g*= 1,043.

Согласно п. 5.1 и формуле (7)) вычисляют:

^л— 1,043 —°-⁸³⁸-

Стр. 2 ГОСТ 11.007-75

1.3. Стандарт устанавливает правила определения оценок для параметров а, б, с методом моментов для следующих случаев:

[а]—оценка параметра масштаба а при известном значении параметров формы б и сдвига с,

[а, б] —оценка параметров масштаба а и формы б при известном значении параметра сдвига с,

[а, с] —оценка параметров масштаба а и сдвига с при известном значении параметров формы б,

[а, б, с] —оценка всех трех параметров.

Стандарт устанавливает правила определения доверительных границ для параметров а, б, с для случаев:

[а] — определение доверительных границ для параметра а при известных значениях параметров формы б и сдвига с;

[а, б] —определение доверительных границ для параметров масштаба а и формы б при известном значении параметра сдвига с.

2. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА МАСШТАБА а ПРИ ИЗВЕСТНОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРОВ ФОРМЫ b И СДВИГА с (СЛУЧАЙ [а]]

2.1. Оценка параметра а при известном значении параметров бис осуществляется по формуле

п    \1_

s    у

~\ /

(См. приложение 2, пример 1).

3. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МАСШТАБА а И ФОРМЫ b ПРИ ИЗВЕСТНОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА СДВИГА с (СЛУЧАЙ [а, Ь])

3.1. Оценка параметров а и б при значении параметра с осуществляется следующим образом:

вычисляют выборочное среднее арифметическое значение х и выборочное среднее квадратическое отклонение 5 по формулам:

п

*=4*2**>    (^з)

t=\ t=l

ГОСТ 11.007-75 Стр. 3

а также отношение

=    ,    (5)

X—С

по полученному значению v_b из табл. 1 находят значение оценки Ь параметров Ь и значение коэффициента К_ъ\

по полученному значению Кь определяют оценку для параметра а по формуле

X—с

Кь

Если в табл. 1 нет соответствующего значения v_b, то необходимо воспользоваться линейной интерполяцией (см. приложение 2, пример 2).

4. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МАСШТАБА а И СДВИГА с ПРИ ИЗВЕСТНОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА ФОРМЫ Ъ (СЛУЧАИ [а_т с])

4.1. Оценка параметров а и с при известном значении параметра b = b₀ осуществляется следующим образам:

по значению параметра b = b₀ из табл. 1 находят значение коэффициентов g_b и Кь ;

определяют оценку для параметра а по формуле

- S

а=—

ёь

где S — определяется согласно формуле (4); находят значение с по формуле

с х аКь    (3)

в качестве оценки параметра с берут одно из двух значений:

I с, если с<х_л(1).

1лг_л(1), еслис>л:_/г(1), где х„(1)—наименьшее значение среди наблюденных значений

(См. приложение 2, пример 3).

5. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МАСШТАБА а ФОРМЫ Ь И СДВИГА с {СЛУЧАЙ [а Ь.с])

5.1. Оценка параметра а осуществляется следующим образом: определяют асимметрию р₄ по формуле

Стр. 4 ГОСТ 11.007-75

по полученному значению р₆ из табл. 1 находят оценку Ь параметра b и значения коэффициентов g_b и /С*;

по полученному значению b осуществляют оценку параметров. а и с согласно разд. 4.

(См. приложение 2, пример 4).

6. ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРА МАСШТАБА а ПРИ ИЗВЕСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРОВ ФОРМЫ b И СДВИГА с (СЛУЧАЙ [а])

6.1. Определение доверительных границ для параметра а при известном значении параметров b и с сводится к определению доверительных границ для параметров экспоненциального распределения и осуществляется следующим образом:

из совокупности наблюдений х_и х₂,    .    .    х_п образуют

совокупность величин

Ух={Х —с)^Ь> Уг = {Хъ—с)^Ь,...,у_п={Х_п—с)^Ь\

по совокупности значений у_ь уъ> •    •    •,    у    _п согласно

ГОСТ 11.005-74 образуют доверительные границы для парамет-, 1

pa    л = — экспоненциального распределения;

вычисляют нижнюю доверительную границу для параметра а по формуле

гдеХ_в— верхняя доверительная граница для параметра X, найденная согласно ГОСТ 11.005-74; вычисляют верхнюю доверительную границу для параметра а по формуле

где А_н— нижняя доверительная граница для параметра А, най-денная согласно ГОСТ 11.005-74;

ГОСТ 11.007'—75 Стр. 5

нижняя и верхняя доверительные границы а_н, а_в образуют доверительный интервал для параметра а, соответствующий доверительной вероятности у*

7*=Ti+T.-l.    (13)

Ti>0.5;    т₂>0Д

где — односторонняя доверительная вероятность, соответствующая доверительной транице а_н;

72 — односторонняя доверительная вероятность, соответствующая верхней доверительной границе а_в.

Вер {л>л_н) = т₁; Вер {а\<а_в}=т₂.

(См. приложение 2, пример 5).

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЦ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ МАСШТАБА а И ФОРМЫ b ПРИ ИЗВЕСТНОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА СДВИГА с (СЛУЧАЙ [а, Ъ]).

7.1. Определение нижней доверительной границы b _н для параметра b при неизвестном значении параметра а и известном значении параметра с осуществляется следующим образом: задают одностороннюю доверительную вероятность Уь

вычисляют корень Ь уравнения (1) приложения 1; по заданному объему выборки п (5</г<120) и заданному значению Vi в табл. 2 находят значение коэффициента /_н;

вычисляют нижнюю доверительную границу для параметра Ь по формуле

при значении объема выборки /г> 120 значение коэффициента /_н вычисляют по формуле

, 1 , 1 / 0,608

^н⁼¹+ у    (¹⁵)

где и_Ух — квантиль нормального распределения, соответствующая вероятности Yi (см. табл. 4).

7.2. Определение верхней доверительной границы Ь_в для параметра b при неизвестном значении параметра а и известном значении параметра с осуществляется следующим образом: задают одностороннюю доверительную вероятность Уг;

вычисляют корень b уравнения (1) приложения 1; по заданному объему выборки п (5<п<120) и значению из табл. 2 находят значение коэффициента 1_В\

Стр. 6 ГОСТ 11.007-75

вычисляют верхнюю доверительную границу для параметра Ь по формуле

б.-f ;    (16)

^LB

при значении объема выборки «>120 значение /_в определяется по формуле

, , _ /0.608

г /г * ^V₂ -    (17)

где значение и_Уг —приведено в табл. 4 (см. п. 7.1). (См. приложение 2, примеры 6,7).

7.3.    Определение доверительного интервала для параметра b при неизвестном значении параметра а и известном значении параметра с осуществляется следующим образом:

задают доверительную вероятность Y* и односторонние доверительные вероятности Yi и у₂ таким образом, чтобы у*, yi ^и У% удовлетворяли соотношению (13);

для односторонней доверительной вероятности у \ согласно п. 7.1 определяют нижнюю доверительную границу Ь_п\

для односторонней доверительной вероятности у₂ согласно п. 7.2 определяют верхнюю доверительную границу Ь_в;

нижняя Ь_н и верхняя Ь_в доверительной границы образуют доверительный интервал для параметра b с доверительной вероятностью

Т * = Т1+Т 2— 1 •

(См. приложение 2, примеры 6,7).

7.4.    Определение нижней доверительной границы а_н для параметра а при неизвестном значении параметра Ъ и известном значении с осуществляется следующим образом:

задают одностороннюю доверительную вероятность Уь

вычисляют корни b я а уравнений (1), (2) приложения 1; по заданному объему выборки « (5<«<120) и значению y_t из табл. 3 находят значение коэффициента г_н;

вычисляют нижнюю доверительную границу для параметра а по формуле

л

^Л ~^ZJ^b    *    V

а^а-е ;    (18)

при значении объема выборки «>120 значение г_н вычисляют по формуле

/1 108" п ’

где значение и_Ух —приведено в табл. 4 (см. п. 7.1).

ГОСТ 11.007-75 Стр. 7