Ю.А. Ельцов А.Ю. Ельцов

Прочность и устойчивость в сплошной среде

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Ю.А. Ельцов А.Ю. Ельцов

ПРОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ

Ижевск 2005

сопротивлением т и характеристиками прочности с и <р по закону Кулона дается уравнением прямой:

т = а • tgcp + с,    (1.8)

где а - равнодействующее отпорное сопротивление в плоскости сдвига (смещения, скольжения); tgq> ~ коэффициент угла <р внутреннего трения; с - сцепление (предельное сопротивление внутренних структурных связей - связность).

По закону Кулона усилие сдвига т преодолевает тормозные сопротивления сцепления и от внешнего давления. Тормозные напряжения по (1.8) состоят из внутренних (потенциальных), выраженных параметром с, и внешних - от действия приложенных усилий.

Потенциальные тормозные сопротивления в реальных материалах, включая жидкие, не могут быть равными нулю, т.к. сцепление внутренних структурных связей в земных условиях всегда больше нуля (с> 0). Следовательно, внутренние реакции торможения по главным осям действия компонентов нормальных (осевых) напряжений не могут быть равными нулю, как это принято в теории напряженного и деформированного состояния сплошной среды, где предполагается «только изменение длин» без «сдвигов» по главным осям деформации [4]. Но если есть «удлинения», пусть только по главным осям, то присутствуют и сдвиги по отношению к неглавным. Поэтому условия, выраженные уравнениями (1.4) и (1.7), не отражают реальных связей компонентов напряжений т, они являются гипотетическими и усложняют решения задач по определению реальных размеров характеристик прочности с и <р (см. гл. 3).

Закон Кулона (трения) применительно к одноплоскостному сдвигу основательно проверен и успешно применяется для определения прочностных характеристик грунтов и других материалов, в чем немалая (приоритетная) заслуга К. Терцаги, Н.А. Цытовича и других исследователей [32]. Он используется при решении многих задач в механике грунтов и геомеханике. Его применение наметилось в теории предельного равновесия сыпучей среды [5].

1.5. Круги Мора и их огибающая

Как считает М.Е. Харр [35], закон Кулона, выраженный уравнением (1.8), «связывает эмпирически предельное касательное напряжение в критической плоскости», а критерий Мора «выражает предельное

10

соотношение только через главные напряжения». Таким образом, одно условие прочности дополняет другое.

Большинство исследователей [9, 23, 30] считают, что диаграмма Мора дает наглядное представление о напряженном состоянии при различных сочетаниях компонент напряжения. Поэтому она оказалась удобной для геометрического изображения результатов опытных параметров Oi и а₂ = о₃ при испытании грунтов и горных пород в условиях сложного напряженного состояния.

В совершенствование графического построения диаграммы предельных напряжений значительный вклад внесли Л. Прандтль и А. Леон, считает А. Надаи [23], благодаря которым огибающая круги напряжений стала очерчиваться ветвью параболы, вершина которой расположена в условной зоне растягивающих напряжений, а более прямолинейные части, характеризующие режим сжатия, находятся в противоположной четверти осей координат т и а, где разделяются на отдельные прямолинейные отрезки (рис. 1.1). На рис. 1.1 вместо кругов построены полуокружности, вместо параболы - ее ветвь. В дальнейшем под «кругом» будет пониматься не только окружность, но и ее части в форме полукруга.

Круги Мора и огибающая их ветвь параболы позволили воедино увязать параметры прочности с и ф с действующими компонентами предельного напряженного состояния как в условиях сложного осесимметричного сжатия Oj > а₂ = а₃, так и при одноосном сжатии о_с и растяжении dp.

Несмотря на эти преимущества, при практическом применении критериев Мора-Прандтля-Леона выявились и существенные недос-

11

татки [6, 12, 23, 25, 27, 36, 37], главные из которых заключаются в следующем.

1.    Круги напряжений не отражают и не учитывают сложное напряженное состояние а\ > а₂ > Оз-

2.    Гипотетическая криволинейная ветвь параболы, огибающая круги Мора, усложняет решение прикладных задач по определению угла внутреннего трения ф и не согласуется с предельной линией плоского сдвига.

3.    При построении кругов Мора компоненты напряжения о_ь а₂ = о₃ откладываются от одного начала координат по одному и тому же направлению оси нормального напряжения о без учета внутренних напряжений и в противоречии с механическими правилами сложения сил.

4.    Не обосновано расположение компонентов растягивающего напряжения на оси нормальных (сжимающих) напряжений о в секторе проявления внутренних напряжений (давления связности по Н.А. Цытовичу).

5.    Параметры прочности аналитически хотя и увязаны с деформационными показателями, но требуют совершенствования.

Эти и другие недостатки более подробно анализируются в последующих разделах. Они вызывают у некоторых исследователей вполне закономерное недоверие, т.к. теория Мора не согласуется с опытными данными и ее применение «возможно» принесло вред развитию теории прочности, так считает Д.Х. Троллоп в сборнике [8]. В качестве одного из критических анализов уместно привести аргументированные доводы А. Надаи (в его редакции [23], но с некоторыми сокращениями).

«Уже много лет тому назад исследователи равновесия грунта считали, что они могут рассматривать типы связных грунтов на диаграмме Мора (рис. 1.2) , сдвинув начало отсчета напряжений о„, т¹ на графике наибольших главных кругов напряжений вправо в положение O_q. При этом остается более или менее неопределенным, откуда должны начинаться две прямолинейные огибающие кругов напряжений ОВ - от точек Во или точек В_ъ и, кроме того, имеется возможность провести окружности О₀С (oj = о_с, а₂ = п₃ = 0) и O_qT (oj = а₂ = 0, ст₃ = - о,) для состояний одноосного сжатия и растяжения, соответствующих предела^ прочности грунта на сжатие и на разрыв а_с и о,. Если огибающие начинаются в точках В₂, это означает, что среда не обладает конечным пределом прочности на разрыв».

«Теперь мы кратко поясним, как в нескольких простых случаях можно определить состояние равновесия весомого связного грунта путем более аккуратного учета наличия в таком грунте растягивающих напряжений. Мы рассмотрим грунт с горизонтальной или наклонной плоской поверхностью, т.е. обобщенную форму того, что именовалось состоянием предельного равновесия Рэнкина. Если физически допустимы растягивающие напряжения, то внезапный обрыв диаграммы Мора в некоторой точке, расположенной левее В₂, такой как точки В₀ или В_ь нарушает правило Леона. <...> Действительно, можно провести круги напряжений, касающиеся прямолинейных огибающих ОВ таким образом, что они проникнут в запрещенную область левее ординат ОоВ₀ или ТВ_Ь которой не отвечают физически осуществимые напряженные состояния: это само по себе является противоречием» [23].

Чтобы снять отмеченное противоречие, применим иное построение предельной линии, проходящей по точкам максимальных значений тормозных т и отпорных о сопротивлений, расположенных на линии сдвига, секущей круги напряжений, изображенных на рис. 1.3 в п. 1.6.

1.6. Условия прочности Треска-Мора с секущей предельной линией сдвига

По опытам многочисленных исследователей установлена криволи-нейность огибающей к кругам напряжений с ростом параметров предельного напряженного состояния. Поэтому поиски сейчас направлены на выявление вида огибающей и определение связи параметров сдвига с компонентами напряжений.

13

Криволинейность огибающей прослежена и отмечается в довольно широком диапазоне изменения действующих давлений. Так как эксперименты не подтвердили ни теорию прочности Кулона-Мора, ни теорию Мизеса-Боткина, то, как считает М.В. Малышев, встала необходимость поисков новых условий прочности [19].

В.Н. Николаевский, З.Г. Тер-Мартиросян, Ю.К. Зарецкий полагают возможным при сложном напряженном состоянии ориентироваться также на условие прочности Треска-Хилла, по которому касательные напряжения достигают максимальной величины т. Примем за основу эту рекомендацию и допущение о пересечении кругов напряжений предельной линией сдвига в точках с координатами

т = 0,5(oi - о₂); о « 0,5 (о_х + а₂).    (1.9)

Тогда при условии, что предельная линия сдвига наклонена к оси о под углом ф, имеем [13]

d ~о₂ = (d + а₂) tg<p + 2с.    (1.10)

Проверка условия (1.10) по результатам многочисленных стаби-лометрических опытов показала, что наряду с криволинейной огибающей возможно построение ломаной линии с прямолинейной связью между параметрами сдвига и компонентами напряжений на отдельных ее отрезках. При этом значения сцепления и угла внутреннего трения оказались близко совпадающими с данными одноплоскостного сдвига.

Построение предельной прямой, секущей круги напряжений в точках с т = шах (рис. 1.3), обеспечивает получение угла внутреннего трения ф менее 45°, что подтверждает установленное Н.П. Пузы-ревским ограничение угла ф в пределах менее 39°32' [28].

В режиме растяжения огибающая круги напряжений также криволинейна и пересекает ось а под прямым углом. В то же время координаты точек максимальных тормозных напряжений при растяжении и растяжении-сжатии касаются предельной линии сдвига, проходящей к оси а под углом 45°, т.е. и здесь выявляется прямолинейная связь параметров сдвига с компонентами напряжений. Пересечение предельных прямых линий растяжения и сжатия происходит в точке^ (рис. 1.3) с координатами [12]

с-а tg9    с-а

^ХА ^{= _}j-7-^;    °А⁼Т~Г~’

1 — tg<p    l-tg<p

где <jp - предельное сопротивление растяжению.

Установленное почти век назад условие прочности с прямолинейной связью параметров сдвига и компонентов напряжений сближает результаты плоского сдвига с данными стабилометрических испытаний в узком диапазоне действующих напряжений и устраняет противоречие, отмеченное А. Надаи.

Предложенное условие значительно упрощает решение задач предельного равновесия и характеризует линейную связь параметров сдвига с компонентами напряжений для песчано-глинистых грунтов, бетона и стекла в узком диапазоне. Но оно не устраняет недостатки, отмеченные в п. 1.5. Главный же недостаток - выполаживание предельной прямой с ростом сжимающих напряжений - сохраняется здесь, как и по критерию Кулона-Мора.

Поэтому есть потребность в разработке иных моделей графического отображения связей между компонентами напряжений и основными параметрами прочности, необходимость которой подчеркивалась рядом исследователей [8, 15, 19,25].

1.7. Растяжение-сжатие

Аналитическая связь между сцеплением с, одноосным сжатием ст_с и растяжением о_р была установлена Кёпке (1858 г.) и подтверждена позднее Мёршем:

(1.12)

15

Согласно решению Мора

с = 0,5^с_ро_с .    (1.13)

Такое значительное расхождение побудило В .Я. Столярова провести более тщательное изучение этой связи, которую он выражает уравнением

с = _А/ст_р(ст_с+ст_р)-а_р.    (1.14)

При допущении равенства растягивающих усилий упругому сцеплению (упругому сопротивлению связности) получим [12]

с = 0,707(1.15)

Проверка приведенных зависимостей показала расхождение расчетных значений с с опытными данными и побудила к поиску новых уравнений связи сцепления с с параметрами сг_с и <т_р.

В этом кратком обзоре мы не приводим известные эмпирические формулы, равно как и иные решения связи сцепления с компонентами напряжения 0| и о₂, поскольку они имеют ограниченную область применения. Желающим познакомиться с ними более подробно рекомендуем обратиться к упомянутым выше и другим опубликованным источникам.

1.8. Связь коэффициента бокового давления с параметрами прочности

Исходя из построений кругов Мора (рис. 1.1) соотношение компонент напряжения (о₃ и o_t) в форме

(1.16)

устанавливает зависимость коэффициента бокового давления v от размеров угла внутреннего трения. Но, как считает Н.П. Пузырев-ский, формула (1.16) Ренкина не верна [28].

Согласно построению кругов Мора (см. рис. 1.2) по Лэмбу величина коэффициента v записывается в виде [36]

16

Глава 2. ОСНОВЫ ПРОЧНОСТНОЙ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

2.1.    Основные критерии построения кругов напряжений при сжатии

Как описано в гл. 1, в основе принятия геометрических построений для нахождения аналитических связей компонентов напряжений с прочностными характеристиками были использованы чисто гипотетические приемы. В прочностной же теории напряженного состояния (ПТНС) основные критерии были приняты после поиска таких геометрических построений кругов напряжений и предельной линии сдвига, которые бы в наибольшей степени совпадали с данными экспериментальных определений и характеризовались простыми прямолинейными связями между компонентами напряжений и параметрами прочности, базируясь на более обоснованном и углубленном понимании проявления механических воздействий и взаимодействий элементарных частей сплошной среды.

2.1.1.    Одноосное сжатие

Рассмотрим механизм воздействия одноосного сжатия а_с на элементарный объем в форме куба (рис. 2.1).

18

При отсутствии поперечных воздействий (а₂, Оз) осевому сжатию - ст_с, в диапазоне от упругих до предельных размеров, противостоят реакции отпора и возбужденное сопротивление поперечных внутренних связей а₂ и 03, уравновешенных до момента приложения а_с.

Поскольку величина внутренних связей заранее неизвестна, то круг напряжений строится (см. рис. 2.3), как и в предшествующих построениях на рис. 1.1 и 1.3, радиусом 0,5ст_с от условного начала координат т - а. Тогда центр круга будет в точке о = 0,5а_с, а его вершина в точке х = 0,5а_с. Здесь величина а характеризует условное

отпорное сопротивление, ах- тормозное.

Из решения треугольника АБВ (рис. 2.3) имеем:    катет

АБ = 0,5ст_с - с; катет БВ = а = 0,5а_с; тогда

2с с ^{2 СТс} (l-tg<p) Ц

где р - коэффициент бокового расширения (1.17).

Как следует из уравнения (2.1), предельному давлению одноосного сжатия ст_с противостоят внутренние сопротивления, состоящие из

удвоенного размера сцепления и дополнительного напряжения, вызванного преодолением внутреннего трения. Таким образом, здесь предшествующая история нагружения и внутреннее напряжение отождествляются с отрезком давления связности е = c/tg<p и, что особенно важно, коэффициент бокового расширения р равен отношению с/а_с.

Допустим, что внутренние напряжения а₂ = о'у действуют как внешние, тогда по условию х = 0,5(а₂ -а'₃) (см. гл. 1) напряжение х

в условиях одноосного сжатия должно быть равным нулю, что соответствует геометрической схеме, но не напряженному состоянию, обусловленному давлением связности е, когда условное начало координат, но не начального напряженного состояния, расположено в точке О₀ пересечения оси а предельной линией под углом <р. Следовательно, при одноосном сжатии построение круга с радиусом х=0,5ст_с будет отражать условия со «скрытым» влиянием внутренних поперечных напряжений.

У ДК 624Л 31 (07)+539.41 (07) Е58

Рецензенты: д-р техн. наук, проф. И.В. Абрамов (Ижевский государственный технический университет); канд. техн. наук, доц. В.П. Беркутов (Ижевская государственная сельскохозяйственная академия)

Ельцов, Ю. А., Ельцов, А. Ю.

Е58 Прочность и устойчивость в сплошной среде. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2005. - 112 с.

ISBN 5-7526-0228-9

В монографии дается углубленная проработка известных теоретических основ напряженного состояния и теорий прочности; разработаны теоретические и экспериментально подтвержденные подходы в решении задач по определению параметров прочности и устойчивости в отдельных (локальных) объемах сплошной (преимущественно твердой) среды, испытывающих местное силовое воздействие.

Приведены основные положения прочностной теории напряженного состояния.

ISBN 5-7526-0228-9

© Ю.А. Ельцов, А.Ю. Ельцов, 2005 © Издательство ИжГТУ, 2005

Для среды, где с = 0, а <р - 45°, получим состояние неустойчивого равновесия, которое может быть разрешено через раскрытие неопределенности вида a_c=CTi=0/0. Устойчивость такой системы при

(р = 45° механически объясняется равновесием идеальных шаров, поставленных один над другим (рис. 2.2). При этом такая система может выйти из состояния равновесия при любом значении а_{ = f(P), если

равнодействующая приложенной силы Р отклонится от главной геометрической оси шаровой системы. Рассмотренная система является вероятностной системой, в отличие от детерминированной, при ф<45°ис^0[12]и характеризует идеально дискретную среду без поперечных связей.

2.1.2. Осесимметричное обжатие и сжатие

Рассмотрим схему с действием внешних поперечных напряжений в условиях осевой симметрии, где ст₂ = ст₃. В известных построениях на рис. 1.1 и 1.3 поперечное напряжение ст₂ откладывалось от условного начала координат с наложением на него напряжения , что не объяснимо с позиции сложения сил. Поскольку напряжения а₂ и ст₃ равны и развиты в одной поперечной плоскости, но перпендикулярно направлению Ст], то их доля в противостоянии напряжению ст может

быть найдена с учетом коэффициента бокового давления v. Это влияние по схеме рис. 2.3 увеличивает размер отпорных реакций на величину 0,5<у₂, тогда ст = 0,5(0!+а₂). По предложенной схеме на рис. 2.3 доля влияния поперечных напряжений возрастает в два раза

20

Посвящается 60-летию Победы; воинам, проявившим верность Отчизне, мужество и стойкость; труженикам тыла, обеспечившим его прочность и устойчивость

ПРЕДИСЛОВИЕ

В практической и научной деятельности авторам пришлось встретиться с рядом проблем, связанных с созданием методических и теоретических основ воздействия наконечников на сплошные, в том числе грунтовые, среды (материалы). В разрешении этих проблем большую помощь оказало общение одного из авторов, Ю.А. Ельцова, с крупными учеными: проф. В.Г. Березанцевым, в лаборатории которого он изучал методические приемы и теоретические основы стаби-лометрических испытаний, и проф. И.И. Черкасовым, под руководством которого начались комплексные исследования грунтов различными наконечниками. Существенная и многоплановая поддержка выдающихся ученых чл.-кор. Академии наук СССР, проф. Н.А. Цы-товича и проф. З.Г. Тер-Мартиросяна сыграла решающую роль в завершении работ по исследованию грунтов наконечниками, где наиболее полно вскрывались достоинства и недостатки известных теоретических основ, используемых для установления аналитических зависимостей опытных параметров с прочностными показателями свойств исследованных материалов.

Богатый практический опыт и более чем 30-летний труд одного из авторов над решением задач механики воздействия наконечников в Ижевском государственном техническом университете позволили установить некоторые причины несогласованности в теоретических построениях и наметить выходы из возникших тупиковых положений.

В монографии не ставилась задача создания «единой», «объединенной» или «обобщенной» теории прочности. Дается более углубленная проработка теоретических аспектов напряженного состояния, и изложены новые подходы в решении практических задач по определению параметров прочности и устойчивости в отдельных (локальных) объемах сплошной среды, испытывающих местное силовое воздействие.

Авторы признательны рецензентам: д-ру техн. наук, проф. И.В. Абрамову (ректору ИжГТУ) и канд. техн. наук, доц. В.П. Беркутову (зав. кафедрой сопротивления материалов ИжГСХА) -за замечания, сделанные при рецензировании монографии.

3

ВВЕДЕНИЕ

Разнообразие форм и свойств материального мира породило большое число приемов его исследования, в частности механических свойств твердых тел, изучаемых в материало- и грунтоведении, механике грунтов и сплошных сред. Отсюда и возникло множество теорий математического выражения связей между константами и переменными показателями свойств и состояний материальных сред и ее элементарных частей. В настоящей работе более подробно рассматривается лишь локальное напряженное состояние среды и аналитические связи между ее компонентами. В выполненных исследованиях не ставилась задача полного анализа известных решений и теоретических положений, а основное внимание было уделено разделам, требующим пересмотра или совершенствования.

Существование любого тела как объекта среды обеспечивается внутренними структурными связями между его элементарными частицами и кристаллами, создающими внутреннее уравновешенное поле напряженного состояния. При проявлении внешних воздействий (силовых, тепловых, химических и т.п.) структурные связи противостоят им до определенного предела, за которым наблюдается переход в новое состояние, ослабленное при наличии одной или нескольких степеней свободы. В условиях же всестороннего сжатия в замкнутом пространстве до определенного предела происходит рост сопротивления связности за счет увеличения контактных сил трения и перестройки структурных связей, т.е. тело приобретает при этом дополнительную прочность (вязкость). Но все эти изменения состояния пока не имеют удовлетворительного аналитического объяснения.

Как считает И.К. Снитко [3]: «...Известно несколько десятков различных теорий, каждая из которых по-своему создает свой критерий прочности. Наличие большого числа теорий является скорее отрицательным, чем положительным фактором, и поэтому естественны попытки построения обобщающих теорий. (...) Несомненны здесь трудности, естественно возникающие при стремлении охватить одной теорией многообразие свойств и состояний материала; может быть, эти трудности и не преодолимы». Последнее звучит как предостережение, если бы не оптимистическое утверждение Леонардо да Винчи: «Мне кажется, что те науки суетны и полны ошибок, которые не рождаются из опыта - матери всякой достоверности и которые не заканчиваются на опыте» [3].

Разрабатывая основные теоретические положения «Механики воздействия наконечников», опубликованной ранее, и развивая их далее,

4

авторы столкнулись с рядом теоретических положений, не согласующихся с опытными данными или неоправданно усложняющих решения по определению прочностных характеристик испытуемых материалов. Это и побудило к поиску и анализу причин выявленных расхождений, к установлению иных критериев, позволяющих упростить решения и сблизить получаемые результаты опытных данных с теоретическими параметрами. Все это привело к созданию основных положений прочностной теории напряженного состояния (ПТНС), которые публиковались начиная с 1985 г., но не были изданы в обобщенном виде, что необходимо для ознакомления широкого круга специалистов, ибо эта теория имеет практическую и научную ценность.

Глава 1. ПАРАМЕТРЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

1.1. Компоненты напряженного состояния

Описание и классификация компонентов напряжений довольно подробно изложены в специальной литературе [4, 31, 35], поэтому в особом рассмотрении не нуждаются.

Действующие нормальные напряжения подразделяются на сжимающие о_с (со знаками минус в теории упругости и с противоположным - в механике грунтов) и растягивающие а_р (со знаками наоборот, что создает путаницу).

Касательные напряжения по плоскостям скольжения, исходя из геометрических представлений, подразделяются на 6 компонентов, знаки которых зависят от направления их действия и обусловлены геометрическими правилами.

В статической теории напряженного состояния через всякую элементарную частицу в форме гексаикосаэдра (26-гранника) проводят 13 особенных плоскостей проявления трех нормальных (главных) и трех пар касательных напряжений совместно с четырьмя октаэдрическими площадками особого сочетания нормальных и касательных напряжений [4]. Таким образом, в основу известных классификаций напряжений положены геометрические понятия направления их действия. Такое изобилие геометрических схем построения плоскостей действия напряжений дает возможность подбора необходимого сочетания площадок, где результирующие напряжения будут совпадать с опытными данными.

Исходя из механических представлений равнодействующие напряжения сжатия о_с и растяжения о_р предлагается считать положительными по абсолютным значениям, а составляющие их компоненты отождествлять с реакциями отпора с учетом направления их действия (отрицательными - при растяжении, разрыве; положительными - для сжимающих усилий). Сжимающие и растягивающие компоненты напряжения по реакциям отпора целесообразно именовать отпорными сопротивлениями, вместо «нормальных» в геометрическом смысле направления действия сил.

Касательные напряжения т, характеризуя контактные сопротивления, обусловленные трением [18, 23, 32], предлагается именовать тормозными как отражающими противодействие скольжению, смещению, сдвигу, разрыву. В этом названии есть ответ на замечание

6

Л. Щукле, что «...термин сопротивляемость сдвигу не имеет ясного определения» [36].

Для результирующих напряжений по равнонаклонным площадкам к направлению действия основных напряжений (а_с и а_р) сохранено название октаэдрические напряжения для сжатия а„ растяжения Оф и сдвига (скольжения, смещения) т₍.

Предлагаемое дополнение в терминах не ставит целью изменение устоявшихся общепринятых названий, а дает возможность отразить реакции противодействия взаимодополняющими терминами.

1.2. Нормальные напряжения

В общей теории напряженного состояния сплошной среды нормальные напряжения рассматриваются совместно с касательными. При этом особо выделяются три взаимно перпендикулярные площадки, где касательные напряжения якобы отсутствуют, а действуют лишь нормальные напряжения а_ь а₂ и а₃, вызывающие главные деформации без сдвига, но с изменением удлинений («длин») от максимума до минимума [4, 35]. Но поскольку происходят удлинения, то вполне закономерно возникновение тормозных (касательных) напряжений, а они, согласно геометрическим построениям, отсутствуют. Это явное противоречие условию (1.1), где значения о_р или о_с являются главными нормальными напряжениями. Согласно уравнению (1.1) нормальное напряжение, преодолевая сопротивление связности в форме отпора, вызывает возникновение тормозного сопротивления, о чем подробнее изложено в пп. 1.3 и 1.4.

В условиях сложного осесимметричного напряженного состояния нормальное напряжение на элементарной площадке, исходя из принятых геометрических построений, равно полусумме составляющих напряжения. При таком подходе исключается влияние промежуточного напряжения, что не отвечает реальным условиям.

1.3. Касательные напряжения

Касательное напряжение т и его компоненты (ть т₂, т₃) возникают и существуют как части тормозного сопротивления трения от смещения (скольжения) и действия сжимающих или растягивающих усилий с одновременным проявлением кратковременных тепловых эффектов [18,23,31].

7

При одноосном сжатии о_с или растяжении ст_р тормозные (касательные) сопротивления равны половине воздействующего (главного) нормального напряжения [4, 15, 35]:

что вытекает из условий проявления наименьшего сопротивления по плоскости, ориентированной под углом 0 = 45° к действию нормального напряжения и отпора о„ :

т = a„cos0sin6.    (1.2)

Из опытов на одноосное сжатие и растяжение установлено внешнее проявление скольжения в виде линий Чернова-Людерса под углом 0 = 45° [31]; если принять его за основу, то уравнение (1.2) преобразуется в (1.1). Размеры тормозных сопротивлений по формулам (1.1) хорошо согласуются с опытными данными (см. гл. 3).

По статической теории напряженного состояния на любой наклонной площадке действия всестороннего сжатия или растяжения касательные напряжения определяются по формуле [4]

т² = pi -сУу = а²/² + а²/и² + ст²и² - (а,/² +а₂т² +а₃я²)²,    (1.3)

где /, т, п- косинусы углов наклона площадок действия главных напряжений.

Из (1.3) следует, что на наклонных площадках, к любым двум главным осям из трех, касательные напряжения равны полуразности двух главных нормальных напряжений, например [4]:

^T12=±|(cti-CT₂); *23 =±-|(®2-Оз); *31=±-^fa-CTl). О-⁴)

Октаэдрическое касательное напряжение имеет вид [4]

х, =j-J(<y_x-Oy)P +(а_у~0;У +(a_z-a_x)² + б(т^+ т^+т^) =—ст,.

(1.5)

* Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. - Т. И. - М.: Наука, 1965. - 480 с.

8

(1.6)

По энергетической теории прочности в функции от главных напряжений

⁼jV(^al-^O2)²+(0f2-CT₃)²+(CT3-Oi)²    O'⁷)

При равенстве главных нормальных напряжений, например в условиях гидростатического давления, касательные напряжения становятся равными нулю. Здесь как бы исчезает сопротивление трения (связность). Это в реальных материалах, даже жидких, не наблюдается [37].

1.4. Тормозные сопротивления

Любой объем материала, в том числе грунта, обладающий теми или иными физико-механическими свойствами, характеризующими связи между его элементарными частицами, в теории напряженного состояния рассматривается как сплошная среда, оказывающая сопротивление внешним и внутренним силовым воздействиям. При ответных реакциях внешним силовым воздействиям в структуре связей между элементарными частями материала возникают напряжения трения [18], названные нами тормозными сопротивлениями. Они противостоят касательным напряжениям. Внутренние же «сопротивления трения» грунта К. Терцаги, как указывается в [32], отождествлял со «связностью». Ответные тормозные реакции задерживают разрыв структурных связей среды во всем поле силового влияния - от упругого до предельного. Возникновение тормозных сопротивлений, особенно в металлах, отмечается по температурным изменениям и может устанавливаться по графикам развития деформаций вплоть до предельного состояния.

При исследовании и установлении прочностных характеристик твердых сред и тел (грунтов, строительных материалов и конструкций) в условиях плоского сдвига связь между тормозным (сдвиговым)

В дальнейшем изложении название «грунт» будем употреблять в том случае, если суть изложения относится только к грунтовой среде или ее части.

9

1

Нумерация Ельцова Ю.А., Ельцова А.Ю.

12

2

Здесь и далее выделенные уравнения являются основополагающими.

19