Р 50-54-42-88
Расчеты и испытания на прочность. Метод конечных элементов и программы расчета на ЭВМ пространственных элементов конструкций в упругопластичной области деформирования

Il€ У ДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО СТАНДАРТАМ (Госстандарт СССР)

Всесоюзный научно-исследовательский институт по нормализации в машиностроении (ВНИИШШ1)

Утверждены

Приказом ВНИИНМАШ » 2?4 от 03.5Л96Г7Г,

Расчеты и испытания на прочность

Метца ко печных элементов и программы расчета на ЭШ пространственных элементов конструкций в упругопластической области деформирования

Рекомендации Р 50-54-42-88

II

P

£к« - O_t

2.    Компоненты тензора приращений полных деформаций cf£\j

состоят из приращений упругих    ,    пластических йс_ч

т

и температурных d£tj _/ составляющих

cLt,] = d£tj + d£?j d£cj.    (2.i7)

Приращения температурных деформаций определяются выражениями

[24J

d£[j = drdTfycj _f    (2.18)

где d_T-d_r(T) - значения коэффициентов линейного теплового расширения при заданной температуре, cJT - приращение температуры в данной точке.

3.    Область упругих деформаций при активном нагружении для любого напряженного состояния в пространстве напряжений ограничивается поверхностью нагружения

f(F^L', а?, т)*о₉    (2.19)

где 3? - параметр пластичности Одквиста. Функция текучести / характеризует переход материала из упругого ооотоявия в пластическое. В частности, при £ < 0 - материал деформируется по упругому закону, при /    =0    наступает    состояние текучеотн.

Принято, что состояния / > 0 не может быть реализовано.

4.    В случае ассоциированного закона пластнчеокого течения компоненты тензора приращений плаотичеокой деформации пропорциональны производным функции текучести по компонентам тенвора напряжений:

p

d£^j - dj    Qj$)

где dJ. - некоторый неопределенный не отряда тельный скалярный

множитель. Соотношения (2.20) означают, что пластическое течение развивается по нормали к поверхности текучести.

2.2.3. Принимая гипотезу изотропного упрочнения [II], уравнение поверхности нагружения при условии текучести Мизеоа запишем в виде

(2.21)

где Zs - предел текучести при чиотом одвиге, S^LJ - компоненты девиатора напряжений:

(2.22)

(2.23)

2.2.4. Принимается ассоциированный закон пластического течения. Тогда на основании (2.20) компоненты тензора приращений пластических деформаций однозначно связаны о компонентами девиатора напряжений соотношениями

(2.24)

13

2.?.5. В случае яеизотермического процесса деформировался принимаются предпосылки о функциональных зависимостях

- f?s (Я?> Т) I

(2.25)

ЗБ - JVj бЬ_р> d£° .

Для определения закона ооотояния необходимо для каждого конкретного материала задать скалярную функцию Ts , зависящую от па-раметра &    ,    фиксирующего иоторию нагружения, и температуры ^ГГ,

2.2.6. Установим зависимость между приращениями напряжений и пластических деформаций.

Поскольку при пластическом деформировании изображающая точка остается на поверхности нагружения, выполняется равенство

di -    <**' ' %- ЧГ ' Ц в» -О.    <2.26,

Для принятой поверхности нагружения (2.21)

df = S,j dS^iJ -    dT    +    0    dzbo.    (2.27)

С учетом иввеотного соотношения

Slj dS^Lj-- S_LJ d^d    (2.28)

15

3. МЕТОД РЕШЕНИЯ

3.1. Метод конечных элементов для решения пространственных задач термоплаотичности

Метод конечных элементов (МКЭ) [ 10J эффективен при решении широкого круга краевых эадач меха-ханики оплошной среды. Одним из направлений развития МКЭ является распространение на физически нелинейные задачи. В данной работе рассматривается подход^ основании^ на методе переме-щений^н его применение к исследованию упругопластического деформирования пространственных конструкций. Вывод уравнений для конечных элементов и их объединение в систему уравнений осуществляется на основе вариационных методов. Предлагаемая схема вывода соотношений МКЭ [21,22] позволяет учеоть основные свойства жестких смещений для язопараметрических конечных элементов, компоненты деформации которых зависят от производных жестких вращений и от поступательных и вращательных смещений каждого элемента в целом, и извеотна как монентная схема конечных элементов (МСКЭ).

Процесс решения задач механики твердого тела по МКЭ состоит из следующих этапов:

1)    дискретизация области на конечные элементы;

2)    введение интерполяционных функций, т.е. аппроксимация ноля перемещений внутри конечного элемента через значения перемещений в узлах элемента;

3)    вывод уравнений для каждого элемента;

4)    объединение уравнений элементов в единую систему для всей рассматриваемой области;

5)    решение общей системы уравнений;

16

6) вычисление искомых полей перемещений и напряжений.

5 предлагаемых рекомендациях рассматриваются в основном второй, третий и пятый этапы. При этом учитывают, что имеют* ся фундаментальные разработки метода конечных элементов^ 10,24]

Принципы и ооновные положения МСКЭ изложены в Приложении.

3.2. Библиотека конечных элементов ППП "Куб"

3.2.1.    Для обеспечения проотрвнотвенных расчетов в ПИП "Куб" применяются различные типы КЭ в зависимости от геометрической сложности конструкции, ресурсов машинного времени, оперативной и дисковой памяти.

3.2.2.    Для пространственных конструкций, объем которых

можно аппроксимировать конечными элементами прямолинейной формы, вводится предположение, что КЭ ввиду малости его размеров можно принимать в форме косоугольного параллелепипеда и подучат коэффициенты MS в аналитической форме. Для конструкции олокной формы с криволинейной границей возможно применение криволинейных КЭ в виде произвольных шестигранников о численным иитегри реваншем по объему элемента и аппроксимацией координат и перемещений с помощью полиномов Лпграпже от Г до 3-й степени по трем напревлгнипм и включает    КЭ    о    полилинейной,    поли-

квадратичной, нолику бичеокой ттрокоимипией и их комбинациями по раз.личным направлениям.

3. •!. 'К ''нойстта элемечт"в. Нччиодонт Mi элементов осум**

'•ГЧОО'М'Ч? п <nv>7f»ГНИЯ г r<\vi т >ПИ;?МИ W'’Q. Д.ЛН Я/РМСН ГОР •

17

численным интегрированием до объему вычисление коэффициентов выполняется по стандартным программам. Ш конечных элементов с аналитическим интегрированием вычисляются по отдельным программам. КЭ с аналитическим интегрирование по объему для вычисления коэффициентов Ш требует в шесть раз меньше времени, чем полилинейный элемент с численным интегрированием. Поэтому для тыл, близких к призматическим и с прямолинейными границами, можно рекомендовать применение КЭ о аналитическим интегрированием при незначительном сгущении сеточной области. Значительное сгущение сеточной области приводит к увеличению ширины строки ЫЖ, что ведет к увеличению времени вычисления U3K всей конструкции. Поэтому для трехмерных тел сложной формы с криволинейными границами следует применять криволинейные элементы о численным интегрированием.

3.2.4. Данные для элементов. Вое величины, относящиеся к элементам, могут быть переменными. Свойства материалов, нагрузки могут задаваться для групп элементов и зависят от номера узла, принадлежащего данному элементу.

3.3. КЭ в форме косоугольного параллелепипеда

З.ЗЛ. Конечные элементы в форме параллелепипеда (косоугольного и прямоугольного) имеют ту особенность, что метрические характеристики местной системы координат постоянны в объеме элемента и коэффициенты матрицы жесткости можно получить в замкнутой форме.

Предполагается, что компоненты тензора преобразования координат в объеме алемеита постоянны;

(3.1)

Конечннй элемент в форме коооугольного параллелештеда отобразим на куб о длиной ребра, равной 2. Местную онотему координат поместим в центр куба (рио.3.1). Перемещения точек КЭ предотавим вврахенкем

где

[Ят]^г-[-ц-и-н~н];

[Рзт]^Г^[Ч-4ЧЧНН];

т = 1,8 - яоквльннй номер уела.

Деформации еле ментов определяются по формулам

в, = / С?2 U” Pm (S+ ЯтХ*)(4+ Й>т X³);

fti- 4- cii и*йт(4+ OmX*)( 1 + й,тX^s); f CXI и*'Рм(-?+ал>Х<)( 4 + втЯ*);

«    да*/

= P & u* (* * Д,т&)(с?А» * cl'km);

UUi+&*&)(&'Am +C?Om);

) f ! С I / + Ptm X'XCl P₃m + Cl Вт)

ff) "    ^J

i

Рио. 3.1 Конечный элемент в форме

параллелепипеда

Группа T5I

РЕКОМЕНДАЦИИ

Расчета и испытания на прочность Метод конечных элементов и программы расчета на ЭВМ пространственных элементов конструкций в упругоплас-тической области деформирования

Р 50-54-42-88

ОКСТУ 4103

Рекомендации распространяются на расчет методом конечных элементов (МКЭ) пространственных объектов, подвергаемым статическим термосиловым нагрузкам при смешанных граничных условиях в упругопластической области деформирования.

Решение физически нелинейной задачи состоит в сведении краевой задачи к системе разрешающих нелинейных уравнений. Эффективность решения краевой задачи обеспечивается использованием моментной схемы конечных элементов ШСКЭ) [ 22J . При исследовании массивных и тонкостенных конструкций она не только превосходи^ другие варианты МКЭ, основанные на соотношениях теории упругости, но и не уступает оболочечным КЭ.

В рекомендациях предложен выбор оптимального алгоритма решения систем нелинейных уравнений, а также приведены г\лн определения точности получаемых результатов и затр^п’ мо.инисто времени при использовании различных anr^ptrvon.

4

Эффективность решения пространственной задачи неосесим-матричного упругошгастического деформирования тел вращения обеспечивается применением полуакалитического метода конечных элементов (ПМКЭ), основанного на представлении перемещений и внешних нагрузок отрезками ряда ^рье по окружной координате и конечноэлементной аппроксимации их в плоскости меридианаль-ного сечения.

Метод конечных элементов реализован в пакете прикладных программ (ППП): "Куб"- для расчета пространственных тел призматической формы (общего вида) и "Круг" - для расчета неосесимметрично нагруженных тел вращения. ППП разработаны в развитие системы "Прочность-75", сданной в Республиканский фонд алгоритмов и программ \20] . Апробированы на контрольных примерах, показывающих эффективность метода и достоверность получаемых результатов при решении сложных задач упругопластического деформирования ответственных машиностроительных конструкций.

Подлинники программ хранятся в Киевском ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительном институте.

Рекомендации предназначены для специалистов НИИ, КБ и заводских лабораторий, занимающихся расчетами на прочность изделий машиностроения.

4a

I. ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

X^е - местная система координат Z^L‘ - базисная система координат

Ш - компоненты вектора перемещений в базисной сиотеме координат

ф - компоненты тензора деформаций в местной системе координат 6*^J- компоненты тензора напряжений Si; - компоненты девиатора напряжений С( - компоненты тензора преобразования координат

-    предел текучести при чистом сдвиге Т - температура

£ - параметр Одквиста Д    коэффициенты    Ламе

dr - коэффициент линейного теплового расвшрения Е - модуль упругости

-    коэффициент Пуассона КЗ - конечный элемент

ПШ1 - пакет прикладных программ

MX - матрица жесткости

Щ - магнитный диск (том прямого доступа)

ВЗУ - внешние запоминающие устройства

АЦПУ - алфавитно-цифровое печатающее устройство.

5

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

2.1.    Соотношения пространственной задачи термоупругости

2.1.1.    Рассматривается напряженно-деформированное состояние трехмерного тела, которое занимает область $    ,    ограни

ченную границей Г . Физико-механические характеристики объекта изменяются произвольным образом внутри области S Тело деформируется под действием статически уравновешенной системы внешних сил и реакций связей,. Внешние воздействия могут быть представлены полем массовых внутренних сил, системой поверхностных нагрузок, приложенных на границе Г , и эквивалентными тепловыми нагрузками, вызванными неравномерным нагревом или охлаждением тела.

Важным классом пространственных задач термоупругооти являются тела вращения под действием неосесимметричного термооило-вого нагружения.

2.1.2.    Для описания геометрии и граничных условий рассматриваемых объектов используется базисная система координат Z^L . Внешние нагрузки и перемещение точек тела определяются проекциями в этой системе. Описание напряженно-деформированного состояния тел сложной формы упрощается в криволинейной системе координат , естественно связанной о геометрией тела. Такая система в дальнейшем называется местной.

2.1.3.    Системы координат характеризуются компонентами метрических тензоров Qtj и Qtl/ , которые определяют масштабы базисных векторов и углы между ними. Символы Кристоффеля второго рода находятся по соответствующим компонентам Q_tj и Qc)'

по формулам [ I ]

2.1,4. Полагается, что в любой точке тела известна связь между базисной и местной системами координат, осуществляемая тензором преобразования координат,

, if _    д2¹'

У “ ~ dx^J

Здесь и далее латинские буквы используются для обозначения индексов, принимающих значения 1,2,3, а греческие - 1,2.

2.1.5. Ковариантные компоненты метрического тензора в местной системе координат определяются через соответствующие компоненты в базисной

Ковариантные компоненты находятся по известным ковариент-

ным

7

fi ( Q'tj)

$

где    -    алгебраическое    дополнение    к    элементу    д-i/    мат

рицы, построенной по ковариантннм компонентам; g^d&iCgtjJ определитель этой матрицы.

2.1.6. Принимается, что перемещения точек тела беоконечво малы. Тогда связь между компонентами тензора деформаций в местной системе координат и компонентами перемещений в базисной осуществляется в виде [i]

2.1.7. Для пространственных тел призматической формы в качестве базисной удобно использовать декартову систему координат В декартовых координатах не равны нулю следующие компоненты метрического тензора:

- дм - дм = f    (2.6)

п^к>

и вое li'm    =    0. Компоненты метрического тензора в местной

системе координат определяются соотношениями

да -- Сс с]\    (2,7)

Связь между деформациями и перемещениями представляется в

виде

(2.8)

8

2,1.8. При исследовании тел вращения в качеотве базисной естественно принять круговую цилиндрическую систему координат (рно.2.1). В этом случае отличны от нуля; компоненты метрического тензора

9«-

символы Кристоффеля второго рода

пг'    ryz'    Н*'~ Г⁵‘- Х~

/₅у ⁼    & ? 1з'£' " ‘2.'ъ'    '%*’

Местная система координат X^е вводится таким образом, что

У    2

оси X и X расположены в плоскости меридионального сечения тела, а X⁶ совпадает по направлению с В⁹ . В силу ортогональности Х^ъ и В? к плоскости меридионального сечения имеем

cfi.    ^(2ЛТ

С учетом выражений (2.9) и (2.II) компоненты метрического тензора в местной системе координат определяются соотношениями

Ск С ft Qrfr' •

gw

Связь между компонентами деформаций и перемещений осуществляется по формулам _f    ,

<4* ⁼ 7 (^С<< fyfi * С/ь Щ* ) _/    ;

f - 4fи *    ^)

t $ъ~ Uз'з V- Ul*